Contoh soal graf(Tugas matematika informatika kelompok 2)

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

Time Published : 06.49 WIB.
Rating : 7/10.

Tugas Bahasa Indonesia 1

Menentukan kalimat umum dan khusus pada artikel deduktif

Samsung Galaxy Tab S2 Hadir Dengan Prosesor 64-Bit

Melanjutkan kesuksesan Galaxy Tab S, Samsung dalam waktu dekat akan merilis tablet baru yaitu Galaxy Tab S2. Tablet ini tampaknya akan hadir dalam dua varian ukuran, yaitu 8,0 inci dan 9,7 inci. Berikut adalah beberapa spesifikasi dan fitur bocoran yang beredar di internet.

Dilansir dari Sam Mobile, akan mengusung layar Super AMOLED dengan resolusi layar 2,048 × 1.536 piksel. Sedangkan pada sektor dapur pacu, tablet ini kabarnya akan didukung oleh prosesor Exynos 5433 dan RAM sebesar 3 GB. Selain itu tablet ini akan dilengkapi dengan memori internal sebesar 32 GB dengan dukungan slot microSD hingga 128 GB.

Selain itu, tablet Galaxy Tab S2 juga akan mendukung konektivitas LTE Kategori 6 dengan kecepatan mencapai 300 Mbps, baterai berkapasitas 3.580 mAh (versi 8.0-inch), dan 5870 mAh (versi 9,7 inci). Beralih ke sektor kamera, Galaxy Tab S2 tampaknya akan mengusung kamera belakang 8 MP dan kamera depan 2,1 MP .

Kabarnya, tablet ini akan dirilis Samsung pada pertengahan 2015. Namun, Samsung belum memberikan konfirmasi resmi mengenai spesifikasi , harga dan tanggal rilis Galaxy Tab S2.

Sumber = http://www.lingkarpost.com/2015/02/25/samsung-galaxy-tab-s2-hadir-dengan-prosesor-64-bit-15682.html

Paragraf 1:

Kalimat Umum = Melanjutkan kesuksesan Galaxy Tab S, Samsung dalam waktu dekat akan merilis tablet baru yaitu Galaxy Tab S2.

Kalimat Khusus =   Tablet ini tampaknya akan hadir dalam dua varian ukuran, yaitu 8,0 inci dan 9,7 inci.

Paragraf 2:
Kalimat Umum =  Dilansir dari Sam Mobile, akan mengusung layar Super AMOLED dengan resolusi layar 2,048 × 1.536 piksel.
Kalimat Khusus =   Sedangkan pada sektor dapur pacu, tablet ini kabarnya akan didukung oleh prosesor Exynos 5433 dan RAM sebesar 3 GB.

Paragraf 3:
Kalimat Umum =  Selain itu, tablet Galaxy Tab S2 juga akan mendukung konektivitas LTE Kategori 6 dengan kecepatan mencapai 300 Mbps, baterai berkapasitas 3.580 mAh (versi 8.0-inch), dan 5870 mAh (versi 9,7 inci).
Kalimat Khusus =  Beralih ke sektor kamera, Galaxy Tab S2 tampaknya akan mengusung kamera belakang 8 MP dan kamera depan 2,1 MP .

Paragraf 4:
Kalimat Umum =  Kabarnya, tablet ini akan dirilis Samsung pada pertengahan 2015.
Kalimat Khusus = Namun, Samsung belum memberikan konfirmasi resmi mengenai spesifikasi , harga dan tanggal rilis Galaxy Tab S2.

Contoh Artikel Deduktif:

Pengertian, Keuntungan dan Kerugian root handphone android

Smartphone android dewasa ini menjadi penguasa pangsa pasar smartphone di dunia, mengalahkan apple dan symbian. Yang membuat OS yang satu ini menjadi populer ialah banyaknya aplikasi-aplikasi yang berkualitas serta gratis. Namun, tidak hanya itu saja kelebihan perangkat android. Perangkat android dapat melakukan proses yang namanya root. Bagi yang belum tahu, root pada android suatu kondisi dimana kita sebagai user dapat mempunyai izin untuk melakukan manipulasi system lebih leluasa daripada user biasa.

Banyak sekali keuntungan yang bisa kita dapatkan dengan men-root perangkat android kita. Seperti menambah memori internal pada perangkat android. Jadi, anda tidak perlu khawatir akan sempitnya ruang memori internal pada perangkat anda. Tidak hanya itu saja keuntungannya.  Dengan root android, kita dapat melakukan overcloking pada processor smartphone sehingga kinerja smartphone meningkat lebih dari biasanya, melakukan kostumisasi ROM, mengupgrade sistem operasi ke versi terbaru dengan mudah, mengubah konfigurasi hardware pada android anda, menghapus aplikasi yang terdapat pada file system, dan masih banyak lagi keuntungan yang bisa kita dapatkan dengan melakukan root pada android anda.

Namun ada pula kelemahan yang akan kita dapatkan dengan men-root android. Seperti, garansi yang akan hilang jika  android telah diroot, meskipun masih bisa diakali dengan meng unroot android anda dan mengembalikan konfigurasi perangkat seperti semula. Selain itu, jika kita tidak hati-hati dalam melakukan root android, maka akan terjadi error pada perangkat android anda, diantaranya ponsel sering mati sendiri, banyaknya aplikasi yang error, sering terjadi ‘hang’ pada perangkat, ponsel lebih cepat panas dan boros baterai, dan yang buruk ialah terjadinya bootloop, yaitu sistem android anda tidak mau melakukan proses booting. Jika terjadi bootloop, maka perangkat android anda harus di-reset ulang dan data-data yang ada pada ponsel anda akan hilang semua.

Namun, jika kita melakukan root android dengan benar, sebenarnya tidak menimbulkan kerugian yang besar pada perangkat android anda.  Kerugian paling besar dari rooting mungkin adalah Anda akan kesulitan dalam melakukan recovery pada file-file yang telah dihapus di memori internal ponsel. Dan itupun sangat jarang dilakukan oleh pengguna Android(menyimpan file-file penting di memori internal). Terlepas dari itu semua, sebenarnya andalah yang akan memutuskan apakah perangkat android anda mau diroot atau tidak?

Soal Penalaran Deduktif

 

1. My : Penyakit yang disebabkan oleh virus sulit diobati.

    Mn : Deman berdarah disebabkan oleh virus.

    K    : Demam berdarah sulit diobati.

    E    : Demam berdarah sulit diobati karena disebabkan oleh virus.

 

2. My : Semua petani yang baik adalah petani yang menggarap sawahnya setiap tahun.

    Mn : Paijo menggarap tanah pertaniannya setiap tahun.

    K   : Paijo adalah petani yang baik.

    E   : Paijo adalah petani yang baik karena Paijo menggarap tanah pertaniannya setiap tahun.

 

3. My : Tidak satupun prajurit TNI menjadi komandan pasukan asing.

    Mn : Piere prajurit TNI.

    K   : Piere tidak menjadi komandan pasukan asing.

    E   : Piere tidak menjadi komandan pasukan asing karena Piere prajurit TNI.

 

4. My : Manusia bersifat selalu ingin tahu.

    Mn : Mahasiswa adalah manusia.                    

    K   : Mahasiswa bersifat selalu ingin tahu.

    E   : Mahasiswa bersifat selalu ingin tahu karena mahasiswa adalah manusia.

 

5. My : Tidak ada benda cair yang mengalir ke tempat yang lebih tinggi.

    Mn : Batu bukan benda cair.

    K   : Batu tidak mengalir ke tempat yang lebih tinggi.

    E   : Batu tidak mengalir ke tempat yang lebih tinggi karena batu bukan benda cair.

Time Published : 09.27 WIB.
Rating : 7/10.

Tugas Softskill Ke-4: Membuat aplikasi new media(Membuat web browser)

Pada postingan kali ini saya akan menjelaskan bagaimana cara untuk membuat suatu aplikasi new media. Disini saya akan membuat aplikasi web browser dengan menggunakan program Visual Basic 6.0 .

Pertama-tama, buka aplikasi Visual Basic 6.0 . Kemudian pilih Standard.EXE untuk merancang aplikasi baru. Setelah muncul form baru, kita terlebih dahulu membutuhkan komponen tambahan. Caranya, tekan Ctrl+T dan pilihlah komponen seperti dibawah ini:

- Microsoft HTML Library
- Microsoft Internet Control
- Microsoft Windows Common Control 6.0

Kemudian siapkan komponen-komponen yang diperlukan seperti dibawah ini:

- 1 Label
- 6 Command Button
- 1 Text Box
- 1 Web Browser
- 1 Progress Bar

Dan rancanglah form seperti gambar dibawah ini:

Kemudian ketikkan code berikut:

Tombol Go:

Private Sub Command1_Click()

On Error Resume Next

WebBrowser1.Navigate (Text1.Text)

End Sub

Tombol Home:

Private Sub Command2_Click()

On Error Resume Next

WebBrowser1.GoHome

End Sub

Tombol Refresh:

Private Sub Command3_Click()

On Error Resume Next

WebBrowser1.Refresh

End Sub

Tombol >:

Private Sub Command4_Click()

On Error Resume Next

WebBrowser1.GoBack

End Sub

Tombol <:

Private Sub Command5_Click()

On Error Resume Next

WebBrowser1.GoForward

End Sub

Tombol Exit:

Private Sub Command6_Click()

Unload Me

End Sub

Web Browser1:

Private Sub WebBrowser1_ProgressChange(ByVal Progress As Long, ByVal ProgressMax As Long)

On Error Resume Next

If Progress = -1 Then ProgressBar1.Value = 100

Label1.Caption = "Done"

ProgressBar1.Visible = False

If Progress > 0 And ProgressMax > 0 Then

ProgressBar1.Visible = True

Image1.Visible = False

ProgressBar1.Value = Progress * 100 / ProgressMax

Label1.Caption = "Loading... " & Int(Progress * 100 / ProgressMax) & "%"

End If

Exit Sub

End Sub

Jika sudah, jalankan program tersebut dengan menekan F5 pada keyboard. 

Semoga Bermanfaat!!!

Time Published : 07.25 WIB.
Rating : 7/10.

Tugas Softskill - Tutorial Menggunakan Aplikasi Pinterest

Pada kesempatan kali ini, kami akan menjelaskan bagaimana cara untuk menggunakan aplikasi sosial media yang bernama Pinterest. Bagi yang belum tahu, Pinterest adalah aplikasi virtual pinboard dimana Anda bisa mengunggah foto atau gambar yang bisa dimasukkan kedalam kategori-kategori (semacam album atau folder) yang bisa di customize namanya. Anda juga bisa mengikuti akun lain dan re-pin pin milik akun lain (seperti retweet pada Twitter) tanpa harus mengikuti pemilik pinboard.


Fitur-fitur pada Pinterest:

• Halaman utama

Setelah akun Pinterest Anda aktif, Anda akan memasuki halaman utama atau home. Pada halaman utama, Anda akan menemukan foto atau gambar yang di pin oleh akun-akun yang Anda follow. Pada saat aktivasi akun, Anda akan mendapat rekomendasi akun siapa saja untuk follow. Anda bisa mencari akun teman Anda atau akun seseorang dari fitur search dipojok kiri atas.

• Tambahkan pin

Tambahkan pin adalah menu untuk mengunggah foto atau gambar yang ingin Anda pin. Copy paste link gambar yang ingin Anda pin kedalam menu ini. Menu upload a pin adalah menu untuk mengunggah foto atau gambar yang berasal dari komputer atau file milik Anda sendiri. Create a board adalah menu untuk membuat board atau album foto untuk pin-pin yang Anda unggah.

• Mengulang pin akun milik orang lain

Cara mengulang pin akun milik orang lain adalah memilih tombol re-pin yang ada di pin tersebut.


Jika Anda belum memiliki akun Pinterest, Anda bisa mengikuti tutorial bagaimana cara membuat akun Pinterest dan cara menggunakannya melalui video dibawah ini.

Nama Kelompok:

Josen Jovianto(54413684)

Fransi Risken(53413576)

Rezon Muhammad(57413534)

Time Published : 05.23 WIB.
Rating : 7/10.

New Media

 

Pengertian New            Media

New Media adalah istilah yang luas yang muncul di bagian akhir abad 20 untuk mencakup peleburan media tradisional seperti film, gambar, musik, lisan dan tertulis kata, dengan kekuatan interaktif dari komputer dan teknologi komunikasi, komputer memungkinkan konsumen  perangkat dan  yang  paling  penting  Internet. Media Baru  menyodorkan  kemungkinan    permintaan   akses   ke konten   kapan   saja, di mana saja, pada setiap  perangkat   digital, serta masukan dari  pengguna yang interaktif, kreatif   dan   pembentukan    partisipasi masyarakat  di sekitar konten media. Apa yang membedakan media baru dari media tradisional   bukan   digitalisasi konten  media  ke   bit, kecuali kehidupan   dinamis  dari konten baru “media” dan hubungan interaktif  dengan konsumen media.

Pandangan terhadap new media

Pandangan terhadap new media dapat berpengaruh positif dan negatif. Berpengaruh positifnya info dari media sangat mudah dan sangat cepat,dapat di akses di mana pun serta mendapatkannya sangat lah murah. Pengaruh negative new media terhadat manusia adalah info dari media tersebut tanpa batas dan dapat masuknya budaya luar melalui media baru ini,jika tidak di dasarkan kepada ilmu pengetahuan maka akan menimbulkan hal-hal yang negative terhadap masyarakat.

Technologies of Freedom?
Fakta bahwa pengguna internet dapat berasal dari negara dan belahan dunia manapun menimbulkan kesulitan dalam pemberian sanksi dan penerapan yuridiksi pada konten yang bermasalah. Salah satu solusi untuk permasalahan ini sehingga dapat diminimalisir adalah dengan memberikan ‘tekanan’ kepada penyedia layanan (service providers) untuk bertanggung jawab terhadap konten yang muncul dalam layanan mereka, walaupun hal tersebut muncul diluar kontrol mereka.

Situasi “kebebasan” dalam internet mulai berubah saat deklarasi ‘perang terhadap terorisme’ di tahun 2001 dimulai setelah terjadi aksi terorisme di bulan September tahun tersebut. Pemerintah dan pihak yang memiliki otoritas mulai memberlakukan larangan “kebebasan” dalam dunia maya. Hal ini menyebabkan terjadinya perubahan besar, yang sebenarnya merupakan sebuah ‘normalisasi’ yang juga pernah terjadi pada media komunikasi massa lain sebelumnya.
Hal positif yang sebenarnya perlu diangkat dari konteks ‘kebebasan’ dalam internet adalah arti dari “kebebasan” itu sendiri. Kebebasan dari pengawasan dan ‘hak atas privasi’ merupakan jenis “kebebasan” yang berbeda, serta perlindungan atas anonimitas dan bukan publikasi. Kedua jenis kebebasan ini memiliki arti yang penting, tetapi potensi dan kondisi aktual dari penggunaan internet telah menerjemahkan berbagai macam bentuk “kebebasan” sebagai “kebebasan” yang sesungguhnya.

Menurut Winston (1986), Teknologi terbaru memiliki potensi untuk inovasi, tetapi implementasi aktualnya selalu bergantung kepada dua faktor, yaitu: The operation of ‘supervening social necessity’ dan The ‘law of the suppression of radical pontential’.

New Equalizer or Divider
Manfaat yang sangat besar dari new media adalah siap sedia kapan saja bagi mereka yang ingin “bersuara”. Publik tak harus jadi penguasa yang kaya untuk muncul di laman world wide web. Dengan lahirnya new media, kesenjangan sosial dan transaksi informasi bisa teratasi. Lahirnya new media bagi beberapa kalangan dianggap sebagai bagian dari proses penyebaran informasi tanpa batas dan menyentuh seluruh kalangan sosial.

Beberapa kontroversi bermunculan berkenaan dengan lahirnya teknologi new media (computer technology). Salah satu isunya dihubungkan dengan permasalahan gender. Menurut teori feminis yang dikemukakan oleh Ang dan Hermes, 1991, bahwa komputer itu “diperuntukkan” bagi laki-laki dan bukan untuk wanita. Namun menurut Van Zoonen (2002) dalam risetnya mengatakan bahwa antara gender dan teknologi itu sifatnya terlalu multidimensional.

Saat ini media masa (radio dan televisi) masih dianggap mampu menjembatani kesenjangan dalam bidang sosial dan pengembangan dunia ekonomi. Kelahiran world wide web disebut sebagai komunikasi gaya baru yang mampu mengakomodir kebebasan berpendapat. Dan mampu menjadi suatu kekuatan sosial yang bersifat solid dan militan.

Manfaat   New    Media

1. Bidang Sosial 

New  Media juga baru-baru  ini   menjadi  menarik bagi  komunitas  spionase   global  karena mudah diakses  secara   elektronik   dalam    format     database dan  karenanya dapat    cepat    diambil   dan sebaliknya direkayasa  oleh  pemerintah    nasional. Terutama yang  menarik bagi  komunitas spionase    adalah   Facebook dan Twitter, dua situs   di mana  orang   bebas  mengungkapkan    informasi  pribadi  yang  kemudian    dapat   disaring    melalui dan   diarsipkan  untuk    penciptaan otomatis berkas  pada  kedua orang   bunga dan  rata-rata warga Negara.

.2. Bidang Industri/Dagang 

Hubungan   terbuka dengan   segmen  pasar   banyak di daerah  seperti  perangkat   lunak / desain    video game, televisi, radio, dan terutama film, iklan dan pemasaran, di mana industri berusaha untuk   mendapatkan   keuntungan dari dua arah   dialog   dengan   konsumen   terutama  melalui Internet. Industri periklanan telah dikapitalisasi pada proliferasi New Media dengan agen-agen besar menjalankan multi-juta dolar iklan interaktif anak. Website interaktif dan kios telah menjadi  populer. Dalam sejumlah kasus biro iklan juga telah membentuk divisi baru untuk mempelajari New Media. PR perusahaan juga mengambil keuntungan dari kesempatan di New Media melalui praktik PR interaktif. Interaktif  PR praktik termasuk penggunaan media sosial untuk  menjangkau  khalayak  massa  pengguna online   jaringan   sosial. 

3. Bidang Pendidikan 

Dalam   bidang  ini sangat  memudahkan  bagi  pelajar   maupun  pengajar dalam  mendapatkan materi yang di inginkan. Bisa melalui search engine kita bisa mendapatkan segala informasi, atau dengan   fasilitas   E-book, fasilitas   email   juga bisa membantu   dalam  proses mengerjakan   tugas atau   saling  tukar    informasi.Tetapi dampak New Media tidak hanya pada manfaat positivenya saja, Selalu ada dampak  negative pada suatu perkembangan teknologi termasuk media . Misalnya , pada dunia internetter   jadi  banyak  kebobolan  pada situs Bank –  Bank  terkemuka  akibat  orang – orang   yang    tidak   bertanggung    jawab , Banyaknya situs – situs pornografi , pencurian akun , dan sebagainya . Oleh   karena  itu  kita sebagai  pengguna harus bisa  menseleksi  perkembangan –     perkembangan               new  media sehingga tidak terjerumus ke dampak negative tersebut .

Komponen New Media

Komponen new media saat ini banyak sekali kita temukan di kehidupan sehari-hari, terutama di era serba canggih ini. Beberapa contoh  komponen new media yaitu: Smartphone, Internet, Komputer. Smartphone disebut komponen new media karena dengan smartphone menyediakan fitur-fitur yang memudahkan kita untuk melakukan sesuatu seperti GPS yang berfungsi untuk mencari suatu lokasi dengan mudah, ada pula fitur-fitur dokumen seperti pengecekan email, pembuat dokumen, PDF reader, dsb. Bahkan permainan-permainan(games) pada smartphone pun tak kalah canggih dengan konsol game/komputer. Komputer bisa dibilang sebagai komponen new media pertama di dunia, karena diciptakan pertama kali pada tahun 1947. Komputer sebagai komponen new media dapat melakukan tugas-tugas seperti membuat dokumen, mengakses internet, bermain games, membuat aplikasi/program, mengedit foto atau video, dan sebagainya. Internet merupakan komponen new media yang paling banyak digunakan saat ini. Dengan internet, kita dapat mengakses beberapa situs populer seperti mengakses  jejaring sosial(facebook, twitter, whatsapp), mengakses video(youtube), situs-situs berita (detik, okezone) serta beberapa situs-situs lainnya. Tidak hanya digunakan untuk browsing, internet dapat pula kita gunakan untuk mendownload/mengupload suatu file, mengecek sekaligus mengirim e-mail, mengupdate suatu program, dan dapat pula digunakan untuk membuat blog. Kelebihan inilah yang membuat internet banyak digunakan pada saat sekarang ini.

Contoh Aplikasi New Media

Aplikasi new media pada saat ini sangat lah banyak contoh nya adalah sebagai berikut :

1 .Friendster

Friendster adalah sebuah situs permainan sosial yang berfokus pada permainan dan musik yang berpusat di Mountain View, California. Friendster sebelumnya dikenal sebagai situs jejaring sosial Sebelum dirancang ulang, layanan ini memungkinkan pengguna berkomunikasi dengan anggota lain, serta berbagi konten dan media daring dengan anggota tersebut. Situs web ini dulunya digunakan untuk berkencan dan mencari tahu tentang acara baru, band, dan hobi. Pengguna dapat berbagi video, foto, pesan dan komentar dengan anggota lain melalui profil dan jaringan mereka. Friendster dianggap sebagai salah satu jejaring sosial asli dan bahkan "kakek"-nya semua jejaring sosial. Layanan ini sangat populer di kawasan Asia Tenggara.

2     2.   Facebook

Kata – kata Facebook tentu sudah tidak asing lagi di telingan kita, dari anak-anak hingga orang dewasa berlomba-lomba membuat akun ini dan memperluas jaringan pertemanan. Disatu sisi,lewat jejaring ini kita bisa berbagi foto dan video

                                  

3    3.   Twitter

Twitter berawal dari sebuah diskusi yang diselenggarakan oleh anggota dewan dari Podcasting perusahaan Odeo. Dalam pertemuan tersebut, Jack Dorsey memperkenalkan ide twitter dimana individu bisa menggunakan SMS layanan untuk berkomunikasi dengan sebuah kelompok kecil. Proyek ini dimulai pada tanggal 21 secara terbuka pada tanggal 15 Juli 2006.

Twitter menjadi perusahaan sendiri pada bulan April 2007.Twitter adalah sebuah situs web yang dimiliki dan dioperasikan oleh Twitter Inc., yang menawarkan jaringan sosial berupa mikroblog sehingga memungkinkan penggunanya untuk mengirim dan membaca pesan yang disebut kicauan (tweets).

Kicauan adalah teks tulisan hingga 140 karakter yang ditampilkan pada halaman profil pengguna. Kicauan bisa dilihat secara luar, namun pengirim dapat membatasi pengiriman pesan ke daftar teman-teman mereka saja. Pengguna dapat melihat kicauan penulis lain yang dikenal dengan sebutan pengikut.    

4    4.   Youtube

Sebuah media yang sering kita gunakan,entah itu untuk mengupload video atau pun menonton video tersebut.

5.  Kaskus
Kaskus adalah situs forum komunitas maya terbesar dan nomor 1 Indonesia dan penggunanya disebut dengan kaskuser. Kaskus lahir pada tanggal 6 November 1999 oleh tiga pemuda asal Indonesia yaitu Andrew Darwis, Ronald Stephanus, dan Budi Dharmawan, yang sedang melanjutkan studi di Seattle, Amerika Serikat. Kaskus memiliki lebih dari 6 juta pengguna terdaftar. Pengguna Kaskus umumnya berasal dari kalangan remaja hingga orang dewasa yang berdomisili di Indonesia maupun di luar Indonesia.

                                   

Time Published : 09.34 WIB.
Rating : 7/10.