Contoh soal graf(Tugas matematika informatika kelompok 2)

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

1.      Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.

	(a)      Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa graf tersebut tidak planar.                                                    (5)
	(b)      Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.                                                  (10)

      Jawab :

(a). Dengan ketidaksamaan euler

jika menggunakan rumus ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)

e ≤ 3n – 6

15 ≤ 3 * 8 – 6

15 ≤ 24 – 6

15 ≤ 18

untuk menunjukkan bahwa graf tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi :

2e ≤ 4f

dengan rumus euler menjadi ketidaksamaan

e ≤ 2n – 4

15 ≤ 2 * 8 – 4

15 ≤ 16 – 4

15 ≤ 12               terbukti

           

            (b). Dengan teorema kuratowski

                 dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik dengan

                        graf K_3,3 atau K₅.

                       

G

G1 adalah upagraf dari G

G2 yang isomorfik dengan G1

G2 homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)

2.      Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing anggotanya adalah: K₁ = {Amir, Budi, Yanti}, K₂ = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K₄ = {Hasan, Tommy, Yanti}, K₅ = {Amir, Budi}, K₆ = {Budi, Tommy, Yanti}.

Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa, simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.  (20)

Jawab :

Simpul          : menyatakan kelompok

Sisi                : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.

Dibawah dapat dilihat gambar graf yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang dibutuhkan.

Bilangan kromatis graf tersebut adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.

                  1 waktu untuk K1

                  1 waktu untuk K2

                  1 waktu untuk K3

                  1 waktu untuk K4 dan K5

1        waktu untuk K6

 

3. Disebuah pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Jawab:

graph sebuah pulau dengan 10 kota

 

Rute  wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:

R1  : 1-2               R4       : 4-5              R7       : 8-9

R2 : 2-3              R5       : 5-6              R8       : 9-0

R3 : 3-4              R6       : 6-8              R9       : 0-1

4. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini!

           

                         A                                                                     B

Jawab:

Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat setiap titiknya  mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:

     

                                                      A

Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:

a ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;  a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f  lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f  lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian  A terhubung.

d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A berderajat genap.

Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A mempunyai sebuah sirkuit Euler. 

Jadi graf A di atas mempunyai  Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya yaitu:

                        (c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)

Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                                                      B

Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :

(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)

dan

(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)

5. Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan

(A)                                                                (B)

Jawab:

Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:

              

                                                      (A)

Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K₅ atau K_3,3 dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf A..

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan  f pada graf A yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K₅ dalam graf A, karena dalam K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                

K₅ setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (d, h) dan (g, h)

                

	Reduksi Seri

 

   

Gambar 5.1.

                           K₅

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan v₁ ¹ v₂ kita katakana bahwa rusuk  Reduksi seri   (v, v₁) dan (v, v₂) berada dalam seri. Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v₁) dan (v, v₂) dengan sisi (v₁, v₂). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K₅ mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K₅ seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.

Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K₅.  

Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:

                     

                                                         (B)

Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan  Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar kita akan mencoba menemukan  K₅ atau K_3,3 pada graf B.

Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan  d pada graf B yang telah dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba menemukan K_3,3 dalam graf B, karena dalam K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:

Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:

                 

                                                    (B)

K_3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:

Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)

                                  

 

Reduksi Seri

          

Gambar 5.2.

                                                                   K_3,3

Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai sembilan sisi dan karena K_3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K_3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.

Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K_3,3.   

Time Published : 06.49 WIB.
Rating : 7/10.

Tugas Bahasa Indonesia 1

Menentukan kalimat umum dan khusus pada artikel deduktif

Samsung Galaxy Tab S2 Hadir Dengan Prosesor 64-Bit

Melanjutkan kesuksesan Galaxy Tab S, Samsung dalam waktu dekat akan merilis tablet baru yaitu Galaxy Tab S2. Tablet ini tampaknya akan hadir dalam dua varian ukuran, yaitu 8,0 inci dan 9,7 inci. Berikut adalah beberapa spesifikasi dan fitur bocoran yang beredar di internet.

Dilansir dari Sam Mobile, akan mengusung layar Super AMOLED dengan resolusi layar 2,048 × 1.536 piksel. Sedangkan pada sektor dapur pacu, tablet ini kabarnya akan didukung oleh prosesor Exynos 5433 dan RAM sebesar 3 GB. Selain itu tablet ini akan dilengkapi dengan memori internal sebesar 32 GB dengan dukungan slot microSD hingga 128 GB.

Selain itu, tablet Galaxy Tab S2 juga akan mendukung konektivitas LTE Kategori 6 dengan kecepatan mencapai 300 Mbps, baterai berkapasitas 3.580 mAh (versi 8.0-inch), dan 5870 mAh (versi 9,7 inci). Beralih ke sektor kamera, Galaxy Tab S2 tampaknya akan mengusung kamera belakang 8 MP dan kamera depan 2,1 MP .

Kabarnya, tablet ini akan dirilis Samsung pada pertengahan 2015. Namun, Samsung belum memberikan konfirmasi resmi mengenai spesifikasi , harga dan tanggal rilis Galaxy Tab S2.

Sumber = http://www.lingkarpost.com/2015/02/25/samsung-galaxy-tab-s2-hadir-dengan-prosesor-64-bit-15682.html

Paragraf 1:

Kalimat Umum = Melanjutkan kesuksesan Galaxy Tab S, Samsung dalam waktu dekat akan merilis tablet baru yaitu Galaxy Tab S2.

Kalimat Khusus =   Tablet ini tampaknya akan hadir dalam dua varian ukuran, yaitu 8,0 inci dan 9,7 inci.

Paragraf 2:
Kalimat Umum =  Dilansir dari Sam Mobile, akan mengusung layar Super AMOLED dengan resolusi layar 2,048 × 1.536 piksel.
Kalimat Khusus =   Sedangkan pada sektor dapur pacu, tablet ini kabarnya akan didukung oleh prosesor Exynos 5433 dan RAM sebesar 3 GB.

Paragraf 3:
Kalimat Umum =  Selain itu, tablet Galaxy Tab S2 juga akan mendukung konektivitas LTE Kategori 6 dengan kecepatan mencapai 300 Mbps, baterai berkapasitas 3.580 mAh (versi 8.0-inch), dan 5870 mAh (versi 9,7 inci).
Kalimat Khusus =  Beralih ke sektor kamera, Galaxy Tab S2 tampaknya akan mengusung kamera belakang 8 MP dan kamera depan 2,1 MP .

Paragraf 4:
Kalimat Umum =  Kabarnya, tablet ini akan dirilis Samsung pada pertengahan 2015.
Kalimat Khusus = Namun, Samsung belum memberikan konfirmasi resmi mengenai spesifikasi , harga dan tanggal rilis Galaxy Tab S2.

Contoh Artikel Deduktif:

Pengertian, Keuntungan dan Kerugian root handphone android

Smartphone android dewasa ini menjadi penguasa pangsa pasar smartphone di dunia, mengalahkan apple dan symbian. Yang membuat OS yang satu ini menjadi populer ialah banyaknya aplikasi-aplikasi yang berkualitas serta gratis. Namun, tidak hanya itu saja kelebihan perangkat android. Perangkat android dapat melakukan proses yang namanya root. Bagi yang belum tahu, root pada android suatu kondisi dimana kita sebagai user dapat mempunyai izin untuk melakukan manipulasi system lebih leluasa daripada user biasa.

Banyak sekali keuntungan yang bisa kita dapatkan dengan men-root perangkat android kita. Seperti menambah memori internal pada perangkat android. Jadi, anda tidak perlu khawatir akan sempitnya ruang memori internal pada perangkat anda. Tidak hanya itu saja keuntungannya.  Dengan root android, kita dapat melakukan overcloking pada processor smartphone sehingga kinerja smartphone meningkat lebih dari biasanya, melakukan kostumisasi ROM, mengupgrade sistem operasi ke versi terbaru dengan mudah, mengubah konfigurasi hardware pada android anda, menghapus aplikasi yang terdapat pada file system, dan masih banyak lagi keuntungan yang bisa kita dapatkan dengan melakukan root pada android anda.

Namun ada pula kelemahan yang akan kita dapatkan dengan men-root android. Seperti, garansi yang akan hilang jika  android telah diroot, meskipun masih bisa diakali dengan meng unroot android anda dan mengembalikan konfigurasi perangkat seperti semula. Selain itu, jika kita tidak hati-hati dalam melakukan root android, maka akan terjadi error pada perangkat android anda, diantaranya ponsel sering mati sendiri, banyaknya aplikasi yang error, sering terjadi ‘hang’ pada perangkat, ponsel lebih cepat panas dan boros baterai, dan yang buruk ialah terjadinya bootloop, yaitu sistem android anda tidak mau melakukan proses booting. Jika terjadi bootloop, maka perangkat android anda harus di-reset ulang dan data-data yang ada pada ponsel anda akan hilang semua.

Namun, jika kita melakukan root android dengan benar, sebenarnya tidak menimbulkan kerugian yang besar pada perangkat android anda.  Kerugian paling besar dari rooting mungkin adalah Anda akan kesulitan dalam melakukan recovery pada file-file yang telah dihapus di memori internal ponsel. Dan itupun sangat jarang dilakukan oleh pengguna Android(menyimpan file-file penting di memori internal). Terlepas dari itu semua, sebenarnya andalah yang akan memutuskan apakah perangkat android anda mau diroot atau tidak?

Soal Penalaran Deduktif

 

1. My : Penyakit yang disebabkan oleh virus sulit diobati.

    Mn : Deman berdarah disebabkan oleh virus.

    K    : Demam berdarah sulit diobati.

    E    : Demam berdarah sulit diobati karena disebabkan oleh virus.

 

2. My : Semua petani yang baik adalah petani yang menggarap sawahnya setiap tahun.

    Mn : Paijo menggarap tanah pertaniannya setiap tahun.

    K   : Paijo adalah petani yang baik.

    E   : Paijo adalah petani yang baik karena Paijo menggarap tanah pertaniannya setiap tahun.

 

3. My : Tidak satupun prajurit TNI menjadi komandan pasukan asing.

    Mn : Piere prajurit TNI.

    K   : Piere tidak menjadi komandan pasukan asing.

    E   : Piere tidak menjadi komandan pasukan asing karena Piere prajurit TNI.

 

4. My : Manusia bersifat selalu ingin tahu.

    Mn : Mahasiswa adalah manusia.                    

    K   : Mahasiswa bersifat selalu ingin tahu.

    E   : Mahasiswa bersifat selalu ingin tahu karena mahasiswa adalah manusia.

 

5. My : Tidak ada benda cair yang mengalir ke tempat yang lebih tinggi.

    Mn : Batu bukan benda cair.

    K   : Batu tidak mengalir ke tempat yang lebih tinggi.

    E   : Batu tidak mengalir ke tempat yang lebih tinggi karena batu bukan benda cair.

Time Published : 09.27 WIB.
Rating : 7/10.